| ПРЕДИСЛОВИЕ ……………………………………………………………………………………… |
3 |
|
Глава I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ………………..…………………………………… |
5 |
|
§ 1.1 Определители и их свойства ……………………………………….…………… |
5 |
|
§ 1.2 Вычисление определителей ……………………………………….……………. |
12 |
|
§ 1.3 Системы линейных уравнений ………………………………………….……… |
14 |
|
§ 1.4 Метод Крамера……………………………………………………….…………... |
15 |
|
§ 1.5 Матрицы и действия над ними ………………………………………….……… |
17 |
|
§ 1.6 Метод Гаусса-Жордана………………………………………………..…………. |
20 |
|
§ 1.7 Ранг матрицы……………………………………………………………….…….. |
24 |
|
§ 1.8 Обратная матрица……………………………………………………..………….. |
30 |
|
§ 1.9 Матричный метод решения систем уравнений ……………………….……….. |
34 |
|
Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ………………………. ……………….. |
38 |
|
§ 2.1 Векторная алгебра, операции над векторами………………………………..… |
38 |
|
§ 2.2 Скалярное произведение векторов и его свойства……………………………… |
46 |
|
§ 2.3 Векторное произведение и его свойства…………………………………………. |
51 |
|
§ 2.4 Смешанное произведение векторов и его свойства……………………………... |
55 |
| § 2.5 Аналитическая геометрия на плоскости …………………..………………… |
61 |
|
§ 2.6 Линии и их уравнения…………………………………………….……………... |
63 |
|
§ 2.7 Прямая на плоскости …………………………………..………………………. |
67 |
|
§ 2.8 Пучок прямых ……………………………………………………………….…… |
74 |
|
§ 2.9 Нормальное уравнение прямой ………………………………………………… |
75 |
|
§ 2.10 Расстояние от точки до прямой ……………….……………….……………… |
77 |
|
§ 2.11 Эллипс …………………………………………………………………………... |
79 |
|
§ 2.12 Касательные к эллипсу ………………………………………………………… |
83 |
|
§ 2.13 Гипербола ………………………………………………………………………. |
84 |
|
§ 2.14 Асимптоты гиперболы …………………….…………………………………... |
86 |
|
§ 2.15 Парабола ………………………………….…………………………………….. |
89 |
|
§ 2.16 Общее уравнение кривых второго порядка и приведение его к каноническому виду ……….… |
92 |
|
Аналитическая геометрия в пространстве…………………………………. |
96 |
|
§ 2.17 Плоскость ……………………………………………………………………… |
96 |
|
§ 2.18Угол между плоскостями. …………………………………………………….. |
99 |
|
§ 2.19 Расстояние от точки до плоскости …………………….……………………... |
101 |
| Прямая в пространстве…………………………………………………..…….. |
102 |
|
§ 2.20 Векторное, параметрическое, каноническое и общее уравнения прямой..… |
102 |
|
§ 2.21 Пересечение прямой и плоскости……………………………………………… |
107 |
| Поверхности……………………………………………..……………………… |
110 |
|
§ 2.22 Цилиндрические поверхности………………………………………………….. |
110 |
|
§ 2.23 Конические поверхности………………………………………………………... |
112 |
|
§ 2.24 Поверхности вращения……………………………….…………………………. |
114 |
|
§ 2.25 Поверхности второго порядка. ………………………………………………… |
116 |
|
§ 2.26 Прямолинейные образующие…………………………………………………... |
120 |
|
Глава III. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ……………..…………... |
124 |
|
§ 3.1 Функция……………………………………………………………………………. |
124 |
|
§ 3.2 Сложные функции…………………..……………………………………………. |
126 |
|
§ 3.3 Полярная система координат………..…………………………………………… |
128 |
|
§ 3.4 Теория пределов …………………………………………………….……………. |
130 |
|
§ 3.5 Основные теоремы о пределах………………..…………………………………. |
138 |
|
§ 3.6 Первый замечательный предел и его обобщение …………..…………………. |
142 |
|
§ 3.7 Второй замечательный предел…………………………………..………………. |
144 |
|
§ 3.8 Обобщенный второй замечательный предел…………………………………….. |
146 |
|
§ 3.9 Другие важные пределы…………………………………………………………. |
147 |
|
§ 3.10 Непрерывность функции………………………………………………………... |
148 |
|
Глава IV. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ……………..……………………..…………… |
155 |
|
§ 4.1 Производная функции……………………………………………………..…….. |
155 |
|
§ 4.2 Дифференцирование сложных функций…………….…………………………. |
163 |
|
§ 4.3 Производная от обратной функции……..………….…………………..……….. |
165 |
|
§ 4.4 Таблица производных основных функций………………………….…………... |
166 |
|
§ 4.5 Производная от неявной функции…………………………………..…………... |
167 |
|
§ 4.6 Дифференцирование функции, заданной параметрически…………..………... |
167 |
|
§ 4.7 Метод логарифмического дифференцирования………………………..………. |
168 |
|
§ 4.8 Дифференциал функции ………………………………………………………... |
171 |
|
§ 4.9 Производные высших порядков, формула Лейбница…………………….…… |
174 |
|
§ 4.10 Теоремы о дифференцируемых функциях……………………………………. |
181 |
|
§ 4.11 Правило Бернулли-Лопиталя……….…………………………………………… |
184 |
|
§ 4.12 Формула Тейлора………………………………………………………………... |
186 |
| Глава V. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ………………………………………..…… |
190 |
|
§ 5.1 Возрастание и убывание функции……………………………………………….. |
190 |
|
§ 5.2 Максимум и минимум функции ………………………………………………… |
192 |
|
§ 5.3 Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке …………….……. |
197 |
|
§ 5.4 Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба…………………………….. |
198 |
|
§ 5.5 Асимптоты кривой…………………………………………………………. …… |
201 |
|
§ 5.6 Полное исследование функции и построение ее графика………………. ……. |
204 |
|
Глава VI. ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ………………………….…. |
209 |
|
§ 6.1 Определения, понятия ………………….………………………………………… |
209 |
|
§ 6.2 Частное и полное приращения функции ……………………………………… |
211 |
|
§ 6.3 Предел и непрерывность функции двух переменных ………………………… |
212 |
|
§ 6.4 Частные производные функции нескольких переменных …………………… |
213 |
|
§ 6.5 Полное приращение и полный дифференциал………………………………… |
215 |
|
§ 6.6 Дифференцирование сложной функции. Полная производная функции нескольких переменных ………………… |
219 |
|
§ 6.7 Дифференцирование неявных функций ………………………. ……………… |
221 |
|
§ 6.8 Производные высших порядков …………….………………………………… |
223 |
| § 6.9 Теорема о смешанных производных………………………………………….. |
225 |
| § 6.10 Дифференциалы высших порядков……………………………………………. |
226 |
| § 6.11 Формула Тейлора для функции двух переменных…………………………… |
228 |
| § 6.12 Максимум и минимум функции нескольких переменных…………………… |
230 |
| § 6.13 Элементы дифференциальной геометрии…………………………………….. |
234 |
|
Комплексные числа………………………………………………………………. |
238 |
|
§ 6.14 Арифметические действия над комплексными числами……………………… |
239 |
|
§ 6.15 Тригонометрическая форма комплексного числа, формула Муавра…………. |
241 |
|
Глава VII. ИНТЕГРИРОВАНИЕ………………………………………………………. |
244 |
|
§ 7.1 Неопределенный интеграл и его свойства……………………………………… |
244 |
|
§ 7.2 Логический граф интегрирования………………………………………………. |
246 |
|
§ 7.3 Интегрирование путем введения функции под знак дифференциала…………. |
247 |
|
§ 7.4 Таблица основных интегралов…………………………………………………… |
250 |
|
§ 7.5 Интегрирование путем замены переменной ……………………………………. |
251 |
|
§ 7.6 Интегрирование по частям……………………………………………………….. |
255 |
|
§ 7.7 Рекуррентная формула приведения…………………………………….……….. |
257 |
|
§ 7.8 Рациональные дроби и разложение их на простейшие……………….……….. |
259 |
|
§ 7.9 Нахождение неопределенных коэффициентов…………………………………. |
262 |
|
§ 7.10 Интегрирование иррациональных функций…………………………………… |
268 |
|
§ 7.11 Подстановки Эйлера ……………………………………………………………. |
269 |
|
§ 7.12 Интегрирование дифференциальных биномов (биномиальных дифференциалов)……………………………… |
271 |
|
§ 7.13 Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций…………. |
275 |
| Определенный интеграл…………………………………………………………. |
278 |
|
§ 7.14 Нижняя и верхняя интегральные суммы Дарбу……………………….………. |
278 |
|
§ 7.15 Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница………. |
284 |
|
§ 7.16 Замена переменной в определенном интеграле……………………………….. |
287 |
|
§ 7.17 Интегрирование по частям определенного интеграла………………………… |
288 |
|
Несобственные интегралы……………………………………………………… |
289 |
|
§ 7.18 Интегралы с бесконечными пределами………………………………………… |
289 |
|
§ 7.19 Интегралы от разрывных функций……………………………………………… |
292 |
|
§ 7.20 Теоремы сравнения ……………………………………………………………… |
293 |
| Приложения определенного интеграла…………………………………………. |
295 |
|
§ 7.21 Площадь плоской фигуры……………………………………………………….. |
295 |
|
§ 7.22 Дифференциал длины дуги……………………………………………………… |
301 |
|
§ 7.23 Вычисление объема тела ………………………………………………………... |
304 |
|
§ 7.24 Площадь поверхности вращения………………………………………………. |
307 |
|
§ 7.25 Теоремы Гульдена………………………………………………………………. |
311 |
|
Глава VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ………………………………… |
313 |
|
§ 8.1 Понятия и определения…………………………………………………………… |
313 |
|
§ 8.2 Дифференциальные уравнения первого порядка ……………………………… |
314 |
|
§ 8.3 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка…………………… |
322 |
|
§ 8.4 Уравнение Бернулли……………………………………………………………… |
325 |
|
§ 8.5 Уравнение в полных дифференциалах………………………………………….. |
327 |
|
§ 8.6 Интегрирующий множитель…………………………………………………….. |
329 |
|
§ 8.7 Дифференциальные уравнения высших порядков ……………………………… |
332 |
|
§ 8.8 Линейные дифференциальные уравнения……………………………………….. |
337 |
|
§ 8.9 Однородные ЛДУ с постоянными коэффициентами……………………………. |
343 |
|
§ 8.10 Неоднородные линейные дифференциальные уравнения…………………….. |
346 |
| § 8.11 Решение неоднородного ЛДУ, метод Лагранжа……………………………….. |
346 |
|
§ 8.12 Метод неопределенных коэффициентов……………………………………….. |
350 |
|
§ 8.13 Системы дифференциальных уравнений……………………………………… |
354 |
| § 8.14 Система ЛДУ с постоянными коэффициентами………………………………. |
356 |
| § 8.15 Метод Эйлера……………………………………………………………………. |
356 |
| Глава IX. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ…………………………………………………… |
361 |
| § 9.1 Двойной интеграл …………………………………………………………………. |
361 |
| § 9.2 Двукратный интеграл……………………………………………………………… |
363 |
| § 9.3 Вычисление двойного интеграла…………………………………………………. |
366 |
| § 9.4 Изменение порядка интегрирования …………………………………………….. |
368 |
| § 9.5 Замена переменных в двойном интеграле……………………………………….. |
373 |
| § 9.6 Вычисление площади поверхности………………………………………………. |
379 |
| § 9.7 Плотность распределения вещества, момент инерции…………………………. |
382 |
| § 9.8 Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры………………………. |
385 |
| § 9.9 Тройной интеграл…………………………………………………………………. |
389 |
| § 9.10 Трехкратный интеграл …………………………………………………………. |
390 |
| § 9.11 Замена переменных в тройном интеграле……………………………………… |
394 |
| § 9.12 Приложения тройного интеграла………………………………………………... |
398 |
| § 9.13 Интегралы, зависящие от параметра…………………………………………… |
400 |
| Глава Х. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ………………. |
402 |
| § 10.1 Криволинейный интеграл ………………………………………………………. |
402 |
|
§ 10.2 Вычисление криволинейного интеграла………………………………………. |
404 |
|
§ 10.3 Формула Грина………………………………………………………………….. |
411 |
|
§ 10.4 Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования ………. |
413 |
|
§ 10.5 Криволинейный интеграл по длине дуги ……………………………………... |
419 |
|
§ 10.6 Длина кривой, координаты центра тяжести кривой ………………………… |
423 |
|
Поверхностный интеграл ……………………………………………………… |
425 |
|
§ 10.7 Поверхностный интеграл первого типа……………………………………….. |
425 |
|
§ 10.8 Поверхностный интеграл второго типа……………………………………….. |
429 |
|
§ 10.9 Формулы Стокса, Остроградского-Гаусса……………………………………. |
433 |
|
§ 10.10 Размышление. Абстрактный интеграл по объекту………………………….. |
435 |
|
§ 10.11 Скалярное поле…………………………………………………………………. |
439 |
|
§ 10.12 Производная по направлению…………………………………………………. |
440 |
|
§ 10.13 Градиент скалярного поля…………………………………………………… |
442 |
|
§ 10.14 Векторное поле…………………………………………………………………. |
444 |
|
§ 10.15 Поток векторного поля………………………………………………………… |
445 |
|
§ 10.16 Дивергенция и ее свойства …………………………………………………… |
447 |
|
Глава XI. РЯДЫ………………………………………………………………………… |
451 |
|
§ 11.1 Числовые ряды. Ряды с положительными членами…………………………... |
451 |
|
§ 11.2 Необходимый признак сходимости ряда………………………………………. |
454 |
|
§ 11.3 Признак сравнения рядов……………………………………………………….. |
457 |
|
§ 11.4 Достаточные признаки сходимости ряда (Даламбера, Коши)………………... |
460 |
|
§ 11.5 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница ………………………………. |
467 |
|
§ 11.6 Знакопеременные ряды…………………………………………………………. |
469 |
|
§ 11.7 Функциональные ряды…………………………………………………………. |
472 |
|
§ 11.8 Мажорируемые ряды…………………………………………………………… |
474 |
|
§ 11.9 Непрерывность функционального ряда………………………………………... |
475 |
|
§ 11.10 Степенные ряды……………………………………………………………….. |
477 |
|
§ 11.11 Ряды Тейлора, Маклорена …………………………………………………….. |
482 |
|
§ 11.12 Вычисление определенных интегралов с помощью рядов…………………. |
487 |
|
§ 11.13 Ряды Фурье ……………………………………………………………………. |
489 |
|
§ 11.14 Ряды Фурье для четных и нечетных функций……………………………… |
495 |
|
§ 11.15 Ряд Фурье для функции с периодом 2l……………………………………….. |
498 |
|
Глава XII. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ………………………………………… |
505 |
|
§ 12.1 Введение. Основные понятия элементарной теории вероятностей………….. |
505 |
|
§ 12.2 Аналогия между теорией множеств и теорией вероятностей………………... |
513 |
|
§ 12.3 Формула сложения вероятностей ……………………………………………… |
514 |
|
§ 12.4 Условная вероятность…………………………………………………………… |
515 |
|
§ 12.5 Комбинаторика. Перестановки, сочетания…………………………………….. |
519 |
|
§ 12.6 Формула полной вероятности…………………………………………………... |
520 |
|
§ 12.7 Формула Байеса…………………………………………………………………. |
521 |
|
§ 12.8 Случайные величины …………………………………………………………… |
525 |
|
§ 12.9 Схема Бернулли. Биномиальное распределение………………………………. |
526 |
|
§ 12.10 Распределение Пуассона………………………………………………………. |
528 |
|
§ 12.11 Геометрическое распределение вероятностей ………………………………. |
530 |
|
§ 12.12 Непрерывные случайные величины. Функция распределения…………….. |
531 |
|
§ 12.13 Плотность распределения вероятности. Законы распределения случайных непрерывных величин…………… |
532 |
| Числовые характеристики случайных величин………………………………. |
535 |
|
§ 12.14 Математическое ожидание……………………………………………………. |
535 |
|
§ 12.15 Неравенства Чебышева ………………………………………………………. |
543 |
|
§ 12.16 Дисперсия случайной величины……………………………………………… |
544 |
|
§ 12.17 Дисперсии известных распределений ……………………………………….. |
546 |
|
§ 12.18 Основные свойства дисперсии……………………………………………….. |
549 |
|
§ 12.19 Моменты высшего порядка ………………………………………………….. |
551 |
|
§ 12.20 Ковариация, коэффициент корреляции………………………………………. |
552 |
|
§ 12.21 Закон больших чисел………………………………………………………… |
556 |
|
§ 12.22 Центральная предельная теорема ……………………………………………. |
561 |
|
§ 12.23 Элементы математической статистики ……………………………………… |
564 |
|
§ 12.24 Оценки неизвестных параметров. Точечные оценки………………………... |
567 |
|
§ 12.25 Методы нахождения точечных оценок………………………………………. |
570 |
|
§ 12.26 Доверительные интервалы …………………………………………………… |
577 |
|
§ 12.27 Метод гипотез …………………………………………………………………. |
579 |
|
§ 12.28 Проверка гипотезы о математическом ожидании нормальной случайной величины при известной дисперсии |
580 |
|
§ 12.29 Проверка гипотезы нормальной случайной величины при неизвестной дисперсии ……………………………… |
581 |
|
§ 12.30 Влияние возраста человека на динамику генетической информации. (пример размышление - статья автора) |
588 |
|
Глава XIII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ………………………… |
597 |
|
§ 13.1 Введение, понятия, определения уравнений в частных производных………. |
597 |
|
§ 13.2 Задача Штурма-Лиувилля………………………………………………………. |
598 |
|
§ 13.3 Классификация дифференциальных уравнений в частных производных…… |
600 |
|
§ 13.4 Приведение к каноническому виду линейных уравнений второго порядка с двумя переменными ……………… |
602 |
|
§ 13.5 Корректность постановки краевых задач……………………………………… |
609 |
|
§ 13.6 Уравнения колебания струны. Формула Д′ Аламбера………………………... |
611 |
|
§ 13.7 Метод Фурье (метод разделения переменных)……………………………….. |
614 |
|
§ 13.8 Уравнение и функции Бесселя …………………………………………………. |
618 |
|
§ 13.9 Колебания круглой мембраны …………………………………………………. |
626 |
|
§ 13.10 Колебания прямоугольной мембраны ……………………………………….. |
628 |
|
§ 13.11 Формулы Пуассона и Д′ Аламбера (метод спуска)………………………….. |
632 |
|
Глава XIV. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО …………... |
637 |
|
§ 14.1 Понятие функции комплексного переменного………………………………... |
637 |
|
§ 14.2 Производная функции комплексного переменного …………………………. |
641 |
|
§ 14.3 Условия Коши-Римана (Д′ Аламбера - Эйлера)………………………………. |
645 |
|
§ 14.4 Гармонические функции ……………………………………………………….. |
647 |
|
§ 14.5 Интеграл функций комплексного переменного……………………………….. |
648 |
|
§ 14.6 Теорема Коши, интеграл Коши………………………………………………… |
651 |
|
§ 14.7 Ряды в комплексной области ………………………………………………….. |
655 |
|
§ 14.8 Вычеты. Интегрирование с помощью вычетов ………………………………. |
659 |
|
§ 14.9 Методы операционного исчисления…………………………………………… |
663 |
|
§ 14.10 Изображения элементарных функций ………………………………………. |
665 |
|
§ 14.11 Таблица свойств изображения………………………………………………… |
672 |
|
§ 14.12 Таблица изображений …………………………………………………………. |
673 |
|
§ 14.13 Нахождение оригинала по изображению ……………………………………. |
674 |
|
Биография автора …………………………………………………………….. |
675 |
|
ЛИТЕРАТУРА ………………………………………………………………… |
677 |
