Важные результаты о колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений содержатся в работах В.А. Кондратьева [63], вопросы неосцилляции решений уравнений, исследование свойств функции Грина для краевых задач рассматриваются в работах А.Ю. Левина, В.П. Максимова, Ю.В. Покорного, В.Д. Пономарева, Е.С. Чичкина, P.R. Beesack, A.M. Krall, Z. Nehari, W.T. Reid и других [74,75,112,114,179,183,198,204,206]. В работах И.Т. Кигурадзе [56,57] исследуются сингулярные краевые задачи (Коши-Николетти, Валле-Пуссена, периодическая, многоточечная) и вопросы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, причем изложенные результаты являются новыми и для регулярного случая. Исследование несамосопряженных операторов,  анализ краевой задачи, к которой сводится изучение линейных свободных колебаний тонкой, упругой оболочки, содержатся в работах М.В. Келдыша, В.Б. Лидского [11,30,52,53,78,79].

Если в линейных двухточечных задачах ряд сильных продвижений обусловлен методом современного анализа, то для многоточечных задач такие методы недостаточно эффективны [53,55,93,128,133,139]. Преодоление трудностей, возникающих в многоточечных задачах, осуществляется за счет использования функции Грина, которая отражает всю специфику краевой задачи и является сложным объектом, изученным весьма недостаточно, поэтому построение функции Грина для многоточечных задач с краевыми условиями общего вида и исследование ее свойств по-прежнему актуально [19,22,59,74,87,112,123].

Приближенно-аналитическому и численному решению краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений посвящены работы Ю.Г. Евтушенко, Г.И. Марчука, Л. Коллатца, Р.Беллмана, Р. Калаба и др. [1, 11,14,15,36,41,90,121,125].  В исследованиях по построению приближенных решений (в аналитическом виде) линейных и нелинейных краевых задач для дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами в качестве сравнения часто берутся уравнения с постоянными коэффициентами (или уравнения Эйлера, Бесселя и др.) с теми же или "близкими" краевыми условиями [18,143,148,176,180]. Наличие ЭВМ и численных методов интегрирования дифференциальных уравнений не отрицает разработки аналитического построения решений. Найденное решение дифференциального уравнения содержит в своей структуре бесчисленное количество частных решений и, следовательно, прямое численное интегрирование не всегда является эффективным и требует знания рабочих свойств и структуры общего решения, чтобы сократить объем вычислительной работы [16,23,37,69,91,136,153]. Частные решения важны для получения первичной информации о характере физического процесса, а также как тесты для проверки качества численных методов [124]. В работах В.В. Дикусара, Ю.А. Рябова, А.М. Самойленко, В.И. Цуркова [121,125,126] разработаны численно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ. Таким образом, аналитические и численные методы решения не исключают, а взаимно дополняют друг друга.

Задачи теории автоматического управления и радиосвязи, определение импульсной переходной функции линейной динамической системы с переменными параметрами, исследование устойчивости и выбор оптимальных параметров рабочего процесса электропневматических механизмов, другие задачи приводят к нахождению решения линейных дифференциальных уравнений в замкнутом виде и исследованию всех его свойств [9,23,24,51,69,72,120,149,151,152]. Линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, нахождение решений которых сводилось бы к конечной последовательности действий над известными функциями и интегрированию этих функций, мало. Примерами могут служить уравнение Эйлера, некоторые классы уравнений, коэффициенты которых удовлетворяют определенным условиям, приводимые к уравнениям с постоянными коэффициентами постановкой Еругина или методом последовательных дифференцирований [10,42,64,87,150]. На наш взгляд, задача решения в квадратурах линейных дифференциальных уравнений и нахождение новых классов интегрируемых уравнений представляет интерес по следующим причинам:

- интегрирование в замкнутом виде дает решение в аналитической  форме, позволяющей произвести полное исследование решаемой задачи;

- возникает возможность нахождения приближенных решений дифференциальных уравнений, близких по своему виду к интегрируемым уравнениям;

- вопрос интегрируемости линейных дифференциальных уравнений в замкнутом виде не исследован полностью [7,10,101,117,133].

Весьма общим и эффективным является сведение краевой задачи для системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка к задаче Коши для матричного уравнения типа Риккати [25,102].

Еще Л. Эйлер привел уравнение второго порядка к уравнению Риккати применив метод интегрирующего множителя в виде  [181]. Идея нахождения частного решения линейного однородного уравнения п-го порядка с переменными коэффициентами в форме  нашло также косвенное отражение в работах Жордана и операторном методе Ващенко-Захарченко и прямое у Мордухай-Болтовского [101]. Позже итальянский математик Дж. Сансоне [127], разыскивая решение в виде , линейное уравнение п-го порядка привел к нелинейному уравнению (п-1)-го порядка. Исследованию и решению в квадратурах линейных дифференциальных уравнений или уравнений типа Риккати посвящены работы В.А.Анисимова, М.И.Ельшина, Н.Б.Енгибаряна, Н.П.Еругина, Ф.А.Михайлова, Р.Р.Мкртумяна, Д.М.Синцова, А.К.Прикарпатского, Ф.И.Федорова, E.Vessiot, T.Jwinski, T.Peyovitch, W.T.Reid и др. [7, 42, 43, 72, 97, 99, 102, 117, 150, 204, 205, 206, 207, 211, 221]. Ю.А. Рябовым [31,121] изложена общая трактовка метода замены переменных применительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям, что развивает замечательные исследования Н.Н. Боголюбова по теории преобразования уравнений. Одним из критериев преобразования является, более полная исследуемость новых уравнений, их большая "решабельность" по сравнению с исходными. Конечно, интегрирование характеристических уравнений типа Риккати может оказаться не менее трудным, чем интегрирование самих линейных уравнений, но в некоторых случаях нахождение решения существенно облегчается. Следует также отметить, что кажущееся усложнение задачи носит принципиальный характер: решение линейной краевой задачи на ЭВМ намного сложнее, чем решение задачи Коши для уравнения Риккати. Эта идея в сочетании с итерационным методом Ньютона лежит в основе метода квазилинеаризации [14,25,121,125].

В моделировании часто применяют модели, имеющие "жесткую" структуру (степенные многочлены, тригонометрические функции), или модели заранее определенной формы. В работах Р.Беллмана, Л.Заде, Ч.Дезоера, С.А.Орловского [14,15,46,106] предлагается новый метод для изучения ситуаций, столь сложных или неопределенных, что они не поддаются точному количественному описанию, т.е. для отыскания в расплывчатой форме решения реальной задачи на языке   нечетких  множеств [97,106]. Несколько  аналогична  этому  формула-тождество для представления функции [70,72,155,162,166]. Ее структура может изменяться, приспосабливаясь к исследуемому процессу и лучше отражая свойства объекта. В силу этого формула для представления функции оказывается полезной при решении прикладных задач и в особенности тех, которые сводятся к линейным дифференциальным уравнениям [135,136,154в,г,д,166]. Эти возможности существуют из-за произвольности параметров базисного уравнения, которые могут быть как постоянными, так и зависящими от х [100,154, 155,162.166].

Однако формула была доказана и использовалась для постоянных параметров [70,71]. Переменность параметров позволяет получить новые результаты как в теоретическом, так и в практическом отношениях.

В этой связи в монографии поставлены следующие задачи.

1. Получить формулу представления гладкой функции при переменных параметрах базисного уравнения. Выявить внутреннюю связь ее с известными формулами.

2. На основе этой формулы решить задачу Коши, многоточечную краевую задачу для линейных дифференциальных уравнений п-го порядка с переменными коэффициентами. Найти краевые условия для сопряженного дифференциального оператора и построить функцию Грина.

3. Разработать методы решения линейных  дифференциальных уравнений, выделить в разрезе единого подхода классы уравнений, порядок которых можно понизить или даже свести задачу к квадратурам.

В главе 1 получена и доказана формула представления достаточно гладкой функции в случае переменных параметров (произвольных непрерывных коэффициентов) вспомогательного нелинейного дифференциального уравнения, которые определяются минимизацией неизвестной части остатка представляемой функции. Рассматриваются ее свойства, устанавливается взаимосвязь формул Лагранжа, Петерсона и полученной формулы [154б,155,202].

В главе 2 на основе формулы представления функции найдены решение задачи Коши и общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения п-го порядка [154ж]. Исследуется п- точечная задача с линейными краевыми условиями общего вида. Найдены краевые условия для сопряженного дифференциального оператора. Построена функция Грина, в которой используются решения сопряженного дифференциального уравнения, исследуются ее новые свойства. С помощью функции Грина и скачка ее производных решена неоднородная п-точечная краевая задача для линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами [165,192,197,214,215,216].

В главе 3 исследуются характеристические уравнения типа Риккати, что позволило получить некоторые новые результаты. Дано определение кратных решений характеристического уравнения (п-1)-го порядка типа Риккати и определена фундаментальная система решений. Полученный результат является обобщением случая кратных корней характеристического уравнения для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В случае, когда хотя бы одно из решений характеристического уравнения есть постоянная величина, разработан алгебраический метод решения линейных дифференциальных уравнений п-го порядка с переменными коэффициентами. Найдено необходимое и достаточное условие существования решения экспоненциального вида. Введено понятие возвратного линейного дифференциального уравнения произвольного порядка, изучены его свойства. Доказана частичная приводимость линейного дифференциального уравнения п-го порядка, т.е. доказано, что существует хотя бы одно решение вида e^λt у линейного уравнения с переменными коэффициентами, полученного заменой независимой переменной [154д,е,з,и,192].

В теории краевых задач не изученной оказалась обобщенная многоточечная задача, т.е. исследование случая существования нетривиального решения однородной многоточечной краевой задачи и построение обобщенной функции Грина [19,20,22,74,112,114, 186,188,203]. И совсем не простой является сопряженная многоточечная задача. Какие многоточечные краевые условия будут соответствовать сопряженному оператору  ? Будет ли сопряженная задача единственной, а линейный, дифференциальный и сопряженный операторы нетеровыми или фредгольмовыми? Это также важные вопросы. Не рассматривались многоточечные задачи, содержащие малый параметр в краевых условиях , не исследованы вырождения порядка уравнения, краевых условий и корректность самой задачи [2, 3, 55,59,81,88,98,107].

В теории краевых задач, которая является актуальной ввиду самых различных ее приложений, наименее исследованы многоточечные задачи и задачи для дифференциальных уравнений, когда на каждом отрезке задано свое дифференциальное уравнение, а решения различных уравнений связаны посредством граничных условий. Такая постановка обобщает обычные многоточечные задачи. Не изученными еще оказались сопряженная многоточечная задача, единственность решения, нетеровость, фредгольмовость линейного дифференциального и сопряженного операторов. Не рассматривались задачи, в краевых условиях которых нелинейно заданы импульсные скачки функции или ее производных, а также задачи, содержащие малый параметр [118,119,123,126,150,180,184,187,198].

Весьма интересны и полезны бифуркационные задачи, ветвление решений задач нелинейной теплопроводности, многослойных сред и теории нелинейных волн [21,28,110,132,134,137].

В высокотемпературной теплофизике важную роль играют задачи теплопроводности для композитных сред, что связано с необходимостью проведения расчетов многослойных покрытий различных устройств. Изучение слоистых сверхпроводящих материалов, к примеру “сэндвичей” (диэлектрик- металл-  диэлектрик) тесно связано с исследованием границ раздела и поверхностных слоев [12,24,29,170].

Таким образом, поставленные задачи являются актуальными, и решение их позволит развить теорию дифференциальных уравнений, а также расширить области их приложений.

Глава 4 “Линейная многоточечная краевая задача и функция Грина” является обобщением ранее полученных результатов для n-точечной задачи. Получена весьма полезная т - точечная интерполяционная формула со степенями свободы. Засчет выбора произвольных параметров при интерполяции может быть использована функция с более гибкой структурой взамен традиционных многочленов [169,193,194,214].

В главе 5 “Многоточечная задача для сопряженного уравнения  и ее функция Грина” впервые определена связь между сопряженными семействами функций, исследовано сопряженное характеристическое уравнение (п-1)-го порядка типа Риккати. Решена неоднородная многоточечная задача для сопряженного дифференциального уравнения п-го порядка, построена функция Грина и установлены ее основные свойства [215,218,173].

Центральной является глава 6 "Задачи сопряжения для дифференциальных уравнений”. Здесь предлагается общий вариант постановки краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, когда на каждом отрезке задана своя система дифференциальных уравнений, а решения различных систем связаны посредством граничных условий. Интерес к таким задачам возродился в последнее время в связи с интенсивным исследованием задач типа Бицадзе - Самарского, а также в связи с выявившейся большой ролью, которую играют в приложениях импульсные дифференциальные уравнения [17,124,134]. Исследование проведено в двух направлениях. В линейном случае построены сопряженные краевые задачи. Это удалось сделать в классическом непрерывном случае, не прибегая к таким, например, понятиям функционального анализа как сопряженное пространство, сопряженный оператор и т.п. В нелинейном случае рассмотрены задачи с малым параметром, обсуждается применимость для них ряда аспектов теории ветвления решений нелинейных уравнений. Перенесение результатов на комплексный случай, а также построение соответствующей L-теории не вызывают каких-либо трудностей. Здесь же построена краевая задача, сопряженная к линейной многоточечной задаче [170,217,219].

Весьма актуальным и до сего дня нерешенным является нахождение сопряженных краевых условий, построение многоточечной сопряженной задачи в случае существования нетривиального решения однородной краевой задачи. Исследованы ее единственность, нетеровость и фредгольмовость линейного и сопряженного дифференциальных операторов с многоточечными краевыми условиями, а также проделано обобщение для m-точечной задачи [52,53,76,88]. Такие краевые задачи имеют прямое отношение к теории сплайна, теории интерполирования, а также используются в теории колебаний тонкой, упругой оболочки и теории многоопорных балок [11,30,33,65,77,89,95,116].

Материалы главы 7 “Приложения полученных результатов” настоящей монографии используются при определении тепловых потоков, возникших в работе коронок, армированных искусственными алмазами. Решается задача  нахождения параметров при оптимизации режима работы сложной электроэнергетической системы. Применена трехточечная интерполяция в количественной оценке зависимости состояния здоровья населения с факторами окружающей среды, проделаны и другие инженерно-технические исследования.

В качестве приложений в монографии выделены и получены новые классы линейных уравнений различных порядков, решаемых в замкнутом виде или позволяющие определить частные решения. Исследованы также задачи о рупорах, устойчивости стержней с переменным сечением и др. Результаты настоящей работы используются в [9,24,149]. Приемы интегрирования иллюстрируются на конкретных примерах, изображена область функции Грина для п=5.

В приложениях изложена специфика новых исследований и их связь с работой автора в отрасли дорожного строительства.

Так, автору, исследуя и изменяя теплопроводность слоев дорожных покрытий, содержащих композитные материалы, удалось использовать холод Земли летом и тепло зимой и обеспечить снижение температуры в слое покрытия в периоды летних высоких и повышения температуры покрытия в периоды зимних низких температур воздушной среды в среднем на 10-12°C по сравнению с обычным асфальтом.

Далее автором предложена идея изобретения устройства для предотвращения недозволенного использования агрегата транспортного средства (противоугонное устройство).

Разработана трехслойная стеновая панель, которая относится к строительным слоистым изделиям, предназначенным для строительства ангаров, павильонов и других объектов, и отличается тем, что утеплитель изготовлен из двух и более слоев из материалов, обладающих различными теплоизоляционными свойствами.

Предложен способ разработки месторождений битуминозных материалов при отрицательных температурах, поскольку эти материалы обладают пониженной пенетрацией, повышенной хрупкостью и при дроблении (ударе) распадаются на мелкие частицы, что невозможно в условиях положительных температур.

На эти изобретения автору выданы патенты и предварительные патенты Республики Казахстан. С применением методов математической статистики автором также исследуется вопрос влияния возраста человека на динамику генетической информации.

Поставленные в монографии задачи являются актуальными, представляют собой новое перспективное направление в теории дифференциальных уравнений, а их решение внесет существенный вклад в теорию и приложения многоточечных краевых задач.

Обучение в аспирантуре, докторантуре московских вузов, общение с рядом выдающихся математиков, а также научное руководство и консультации доктора физико-математических наук, профессора В.А. Треногина оказали самое серьезное влияние на математическое и человеческое мировоззрения автора, за что я всем безгранично благодарен. 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие…………………………………………...	3
Глава 1. Формула представления гладкой функции при переменных параметрах базисного уравнения…	12
§1.1. Линейное однородное дифференциальное уравнение п-го порядка и его базисное уравнение типа Риккати...	12
§1.2. Формула решения неоднородного линейного дифференциального уравнения..........................................................	23
§1.3. Формула представления гладкой функции при переменных параметрах базисного уравнения..............................	26
§1.4. Локальные свойства формулы представления функции……………………………………………………………..	33
§1.5. Взаимосвязь формул Лагранжа, Петерсона и полученной формулы.......................................................................	39
Глава 2. Решение начальной и многоточечных краевых задач для линейных дифференциальных уравнений…………………………………………………...	45
§2.1. Частное и общее решения линейного дифференциального уравнения на основе формулы представления функции……………………………………………………….	45
§2.2. Сопряженная п - точечная задача для линейного дифференциального уравнения...............................................	49
§2.3. Решение п - точечной краевой задачи...........................	70
§2.4. Функция Грина и её свойства.........................................	73
Глава 3. Методы решения специальных классов линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами…………………………..........	82
§3.1. Кратные решения характеристических уравнений (п-1)-го порядка типа Риккати  ……………………………...	82
§3.2. Алгебраический метод решения одного класса линейных дифференциальных уравнений п-го порядка с переменными коэффициентами………………………………..	86
§3.3. Возвратное дифференциальное уравнение п-го порядка и его свойства………………………………………….	94
§3.4. Условия приводимости линейных дифференциальных  уравнений  к  уравнениям  с   постоянными   коэффи- циентами………………………………………………………	98
§3.5. Частичная приводимость линейных дифференциальных уравнений…………...…………………………………...	102
Глава  4. Линейная многоточечная краевая задача и функция Грина………………………………………...	110
§ 4.1. Постановка краевой задачи…………………………	110
§ 4.2. m-точечная задача для линейного дифференциального уравнения n-го порядка………………………………...	111
§ 4.3. Решение m–точечной неоднородной краевой задачи................................................................................................	129
§ 4.4. Функция Грина и ее свойства……………………….	133
§ 4.5. m-точечная интерполяционная формула со степенями свободы и выбор параметров для оптимизации………..	140
Глава 5. Многоточечная задача для сопряженного уравнения и ее функция Грина...………………………….	144
§ 5.1. Сопряженные семейства функций…………………....	144
§5.2. Сопряженное характеристическое уравнение (n-1)–го порядка типа Риккати………………………………………...	160
§5.3. Решение многоточечной задачи для сопряженного уравнения……………………………………………………..	163
§ 5.4. Функция Грина многоточечной задачи сопряженного уравнения и ее новые свойства…………………………...	167
Глава 6. Задачи сопряжения для дифференциального уравнения…………………………………………...	177
§6.1. Постановка линейной граничной задачи…………......	177
§6.2. Сопряженная граничная задача…………………….....	178
§6.3. Нормальная разрешимость, нетеровость, фредгольмовость граничных задач…………………………………….	181
§6.4. Нелинейная граничная задача с параметром и ветвление ее решений…………………………………………….	184
§6.5. Построение краевой задачи, сопряженной к линейной многоточечной…………………………………………..	185
§6.6. Бифуркация решений многоточечных краевых задач теплофизики…………………………………………………..	201
Глава 7. Приложения полученных результатов……..	205
§7.1. Достаточные условия интегрируемости и выделение специальных классов линейных дифференциальных уравнений…………………………………………………………..	205
§7.2. Исследование задач о рупорах, об устойчивости стержней с переменным сечением и другие задачи………	216
§7.3. Приемы интегрирования линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами………….	221
§ 7.4. Устройство для предотвращения недозволенного  использования агрегата транспортного средства………….	229
§ 7.5. Исследование свойств теплопроводности, гидрофобности композитных материалов и создание новых технологий многослойного асфальта…………………….…	232
§7.6. Трехслойная стеновая панель из неоднородных материалов………………………………………………………	238
§ 7.7. Способ разработки месторождений битуминозных  материалов……………………………………………………	241
§7.8. Влияние возраста человека на динамику генетической информации……………………………………………..	244
Литература………………………………………………………	254

ГЛАВЫ ИЗ КНИГИ

Страницы 12-44 Скачать (743 kb)	Страницы 45-81 Скачать (951 kb)	Страница 82-109 Скачать (638 kb)	Страница 110-143 Скачать (740 kb)
Страницы 144-176 Скачать (845 kb) Страницы 254-269 Скачать (144 kb)	Страницы 177-204 Скачать (709 kb)	Страницы 205-228 Скачать (735 kb)	Страницы 229-253 Скачать (522 kb)